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特殊三角度数的特殊值
两角和公式
和差化积
积化和差
直角三角函数公式
半角公式
倍角公式
三倍角公式
辅助角公式
降幂公式
升幂公式
推导公式
三角和
两角和差
诱导公式
万能公式
其他公式
特殊三角度数的特殊值
sin30?=1/2 sin45?=√2/2
sin60?=√3/2 sin15?=(√6-√2)/4
cos30?=√3/2 cos45?=√2/2
cos60?=1/2 cos15?=(√6 √2)/4
tan30?=√3/3 tan45?=1
tan60?=√3 tan15?=2-√3
cot30?=√3 cot45?=1
cot60?=√3/3 cot15?=2 √3
两角和公式
sin(A B)=sinAcosB cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB sinAsinB
tan(A B)=(tanA tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1 tanAtanB)
ctg(A B)=(ctgActgB-1)/(ctgB ctgA)
ctg(A-B)=(ctgActgB 1)/(ctgB-ctgA)
和差化积
sinA sinB=2sin[(A B)/2]cos[(A-B)/2]
sinA-sinB=2cos[(A B)/2]sin[(A-B)/2]
cosA cosB=2cos[(A B)/2]cos[(A-B)/2]
cosA-cosB=-2sin[(A B)/2]sin[(A-B)/2]
tanA tanB=sin(A B)/cosAcosB
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB
积化和差
2sinAcosB=sin(A B) sin(A-B)
2cosAsinB=sin(A B)-sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A B)-sin(A-B)
-2sinAsinB=cos(A B)-cos(A-B)
锐角三角函数公式
sin α=∠α的对边 / 斜边
cos α=∠α的邻边 / 斜边
tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边
cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边
半角公式
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1 cosA)
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1 cosA)/sinA.
sin^2(A/2)=(1-cosA)/2
cos^2(A/2)=(1 cosA)/2
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1 cosA)
倍角公式
sin2A=2sinA*cosA
cos2A=cosA^2-sinA^2=1-2sinA^2=2cosA^2-1
tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2)
[注：sinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ]
三倍角公式
sin3α=4sinα?sin(π/3 α)sin(π/3-α)
cos3α=4cosα?cos(π/3 α)cos(π/3-α)
tan3α = tan α ? tan(π/3 α)? tan(π/3-α)
注：三倍角公式的推导
sin3a=sin(2a a)=sin2acosa cos2asina
辅助角公式
Asinα Bcosα=(A^2 B^2)^(1/2)sin(α t)
降幂公式
sin^2(α)=(1-cos(2α))/2
cos^2(α)=(1 cos(2α))/2
tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1 cos(2α))
升幂公式
sinx=2sin(x/2)cos(x/2)
cosx=2cos^2(x/2)-1=1-2sin^2(x/2)=cos^2(x/2)-sin^2(x/2)
tanx=2tan(x/2)/[1-tan^2(x/2)]
推导公式
tanα cotα=2/sin2α
tanα-cotα=-2cot2α
1 cos2α=2cos^2(α)
1-cos2α=2sin^2(α)
1 sinα
=(sinα/2 cosα/2)^2
=2sina(1-sin2a) (1-2sin2a)sina
=3sina-4sin3a
cos3a
=cos(2a a)
=cos2acosa-sin2asina
=(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa
=4cos3a-3cosa
sin3a
=3sina-4sin3a
=4sina(3/4-sin2a)
=4sina[(√3/2)2-sin2a]
=4sina(sin260?-sin2a)
=4sina(sin60? sina)(sin60?-sina)
=4sina*2sin[(60 a)/2]cos[(60?-a)/2]*2sin[(60?-a)/2]cos[(60?-a)/2]
=4sinasin(60? a)sin(60?-a)
cos3a
=4cos3a-3cosa
=4cosa(cos2a-3/4)
=4cosa[cos2a-(√3/2)2]
=4cosa(cos2a-cos230?)
=4cosa(cosa cos30?)(cosa-cos30?)
=4cosa*2cos[(a 30?)/2]cos[(a-30?)/2]*{-2sin[(a 30?)/2]sin[(a-30?)/2]}
=-4cosasin(a 30?)sin(a-30?)
=-4cosasin[90?-(60?-a)]sin[-90? (60? a)]
=-4cosacos(60?-a)[-cos(60? a)]
=4cosacos(60?-a)cos(60? a)
上述两式相比可得
tan3a=tanatan(60?-a)tan(60? a)
三角和
sin(α β γ)
=sinα?cosβ?cosγ cosα?sinβ?cosγ cosα?cosβ?sinγ-sinα?sinβ?sinγ
cos(α β γ)
=cosα?cosβ?cosγ-cosα?sinβ?sinγ-sinα?cosβ?sinγ-sinα?sinβ?cosγ
tan(α β γ)
=(tanα tanβ tanγ-tanα?tanβ?tanγ)/(1-tanα?tanβ-tanβ?tanγ-tanγ?tanα)
两角和差
cos(α β)=cosα?cosβ-sinα?sinβ
cos(α-β)=cosα?cosβ sinα?sinβ
sin(α?β)=sinα?cosβ?cosα?sinβ
tan(α β)=(tanα tanβ)/(1-tanα?tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1 tanα?tanβ)
诱导公式
sin(-α) = -sinα
cos(-α) = cosα
tan (-α)=-tanα
sin(π/2-α) = cosα
cos(π/2-α) = sinα
sin(π/2 α) = cosα
cos(π/2 α) = -sinα
sin(π-α) = sinα
cos(π-α) = -cosα
sin(π α) = -sinα
cos(π α) = -cosα
tanα= sinα/cosα
tan(π/2 α)=-cotα
tan(π/2-α)=cotα
tan(π-α)=-tanα
tan(π α)=tanα
诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限
万能公式
sinα=2tan(α/2)/[1 (tan(α/2))^2]
cosα=[1-(tan(α/2))^2]/[1 (tan(α/2))^2]
tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))^2]
其它公式
(1)(sinα)^2 (cosα)^2=1
(2)1 (tanα)^2=(secα)^2
(3)1 (cotα)^2=(cscα)^2
证明(2)式，
只需将(1)式，
左右同除(sinα)^2，
证明(3)式，
只需将(1)式，
左右同除(cosα)^2，
(4)对于任意非直角三角形，总有
tanA tanB tanC=tanAtanBtanC
证明：
A B=π-C
tan(A B)=tan(π-C)
(tanA tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1 tanπtanC)
整理可得
tanA tanB tanC=tanAtanBtanC
同样可以得证,当x y z=nπ(n∈Z)时,
该关系式也成立
由tanA tanB tanC=tanAtanBtanC
可得出以下结论
(5)cotAcotB cotAcotC cotBcotC=1
(6)cot(A/2) cot(B/2) cot(C/2)
=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)
(7)(cosA)^2 (cosB)^2 (cosC)^2
=1-2cosAcosBcosC
(8)(sinA)^2 (sinB)^2 (sinC)^2=2 2cosAcosBcosC
(9)sinα sin(α 2π/n) sin(α 2π*2/n) … sin[α 2π*(n-1)/n]=0
cosα cos(α 2π/n) cos(α 2π*2/n) … cos[α 2π*(n-1)/n]=0
以及sin^2(α) sin^2(α-2π/3) sin^2(α 2π/3)=3/2
tanAtanBtan(A B) tanA tanB-tan(A B)=0
以上是小编总结的三角函数公式，不知道对你有一些帮助呢？另外，关于数学公式的问题你还想知道哪些，可以在以下留言评论或者在公众号主界面的联系我们中跟我们进行反馈。
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